Usuario:Srbanana/lab3

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Simetrías gauge

Simetría interna general ( Hecho)

Como sabemos del Teorema de Noether, la presencia de simetrías implican la conservación de corrientes y magnitudes asociadas. Podemos exponer una transformación que sea mezcla de diferentes campos:

$\phi _{\alpha }(x)\rightarrow \phi _{\alpha }^{\prime }(x)=e^{-{\dot {\imath }}\epsilon q_{\alpha \beta }}\phi _{\beta }\qquad ;\qquad \delta \phi _{\alpha }(x)=-{\dot {\imath }}\epsilon q_{\alpha \beta }\phi _{\beta }(x)$

donde $\epsilon$ es un parámetro infinitesimal y los $q_{\alpha \beta }$ están fijados.

Si ${\mathcal {L}}$ es invariante bajo la transformación, entonces $\delta {\mathcal {L}}=\epsilon \partial _{\mu }j^{\mu }(x)=0,$ donde

$j^{\mu }(x)={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }\phi _{\alpha }\right)}}\delta \phi _{\alpha }(x)=-{\dot {\imath }}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }\phi _{\alpha }\right)}}q_{\alpha \beta }\phi _{\beta }.$

Todo esto significa que la carga del sistema se conservará: ${\mathcal {Q}}=\int _{\chi }{j^{0}(x)dx}=-{\dot {\imath }}\int _{\chi }{{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{0}\phi _{\alpha }\right)}}q_{\alpha \beta }\phi _{\beta }dx}$

La naturaleza física de la corriente $j^{\mu }(x)$ y de la \textit{carga} ${\mathcal {Q}}$ vendrá dada por una forma específica de la transformación.

Nos centramos en las simetrías internas del sistema en cuestión:

• $\mathrm {U} (1)$ Invarianza Gauge local y QED
• $\mathrm {SU} (3)$ Invarianza Gauge no-abeliana y QCD
• $\mathrm {U} (1)\bigotimes \mathrm {SU} (2)$ teoría electrodébil

Si queremos que la ${\mathcal {L}}$ sea invariante gauge LOCAL (transformación que depende del espacio) tendremos que hacerle cambios a la ${\mathcal {L}}$. Si ${\mathcal {L}}$ es invariante gauge local debe presentar términos de interacción con un \textbf{campo de bosones sin masa} ($\gamma$, $g$, ¿$Z^{0}$?, ¿$W^{\pm }$?)

La invarianza gauge local $\mathrm {U} (1)$ y la QED ( Hecho)

Es interesante observar como se puede hallar el lagrangiano de la QED como simple exigencia de que el lagrangiano de un fermión libre con carga eléctrica no nula sea invariante gauge local.

En otras palabras, queremos que el lagrangiano de un fermión libre ${\mathcal {L}}={\dot {\imath }}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi$ sea invariante bajo una transformación local $\mathrm {U} (1)$ de manera que el campo cambie como:

$\psi (x)\rightarrow e^{-{\dot {\imath }}\alpha (x)}\psi (x)$

En ese caso, la derivada covariante y el gauge serán:

$D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\dot {\imath }}eA_{\mu }\qquad \therefore \qquad A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha .$

Con todo esto, el lagrangiano quedará:

${\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}\left({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.$

que resulta ser el lagrangiano de la electrodinámica cuántica.

$\mathrm {SU} _{c}(3)$ Invarianza Gauge no-abeliana y QCD ( Hecho)

Ahora queremos que el ${\mathcal {L}}={\bar {q_{j}}}\left({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)q_{j}$ sea invariante gauge local.

• El campo deberá ser invariante bajo transformaciones de fase locales del grupo $\mathrm {SU} (3)$:

$q(x)\rightarrow e^{-{\dot {\imath }}\alpha _{a}(x)T_{a}}q(x)$

• La derivada covariante y el gauge serán:

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\dot {\imath }}gT_{a}G_{\mu }^{a}\qquad \therefore \qquad G_{\mu }^{a}\rightarrow G_{\mu }^{a}-{\frac {1}{g}}\partial _{\mu }\alpha _{a}-f_{abc}a_{b}G_{\mu }^{c}.$

Con todo esto, el lagrangiano quedará: ${\mathcal {L}}_{QCD}={\bar {q}}\left({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)q+g\left({\bar {q}}\gamma ^{\mu }T_{a}q\right)G_{\mu }^{a}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }.$

$\mathrm {U} (1)_{Y}\bigotimes \mathrm {SU} (2)_{L}$ Teoría electrodébil

Para incluir los procesos débiles en el formalismo $-{\dot {\imath }}ej_{\mu }^{em}A^{\mu }=-{\dot {\imath }}e\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }Q\psi \right)A^{\mu }\qquad \rightarrow$ $-{\dot {\imath }}g{\vec {J_{\mu }}}\cdot {\vec {W^{\mu }}}=-{\dot {\imath }}g{\bar {\chi }}^{L}\gamma _{\nu }{\vec {T}}\cdot {\vec {W^{\mu }}}\chi ^{L}\qquad SU(2)_{L},$ $-{\dot {\imath }}{\frac {g'}{2}}j_{\mu }^{Y}B^{\mu }=-{\dot {\imath }}g'{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }{\frac {Y}{2}}\psi B^{\mu }\qquad U(1)_{Y}$

un isotriplete de corrientes débiles ${\vec {J_{\mu }}}$ acoplado a un bosón vectorial $W^{\mu }$ y una corriente de hipercarga débil acoplado a un bosón cuadrivectorial.

En este caso, el grupo de simetrías viene dado por el grupo de isospín débil y la corriente de hipercarga. Los operadores ${\vec {T}}$ y $Y$ son los generadores de los grupos.

Juntando los dos grupos, tenemos que los campos se transforman así: $\chi _{L}\rightarrow \chi '_{L}=e^{{\dot {\imath }}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {T}}+{\dot {\imath }}\beta (x)Y}\chi _{L},\qquad \psi _{R}\rightarrow \psi '_{R}=e^{{\dot {\imath }}\beta (x)Y}\psi _{R}.$

La interacción electromagnetica está incluida, de manera que: $Q=T^{3}+{\frac {Y}{2}},\qquad j_{\mu }^{em}={\vec {J}}_{\mu }^{3}+{\frac {1}{2}}j_{\mu }^{Y}.$

Mecanismos de rotura de simetrías

Una vez tenemos explicadas las interacciones como consecuencias de conservaciones de gauge local. ¿Cómo podemos explicar las interacciones en las que aparecen \textbf{bosones vectoriales masivos} $Z^{o}$, $W^{\pm }$?

• Meter el término a mano $\rightarrow$ teoría NO RENORMALIZABLE y rompe la simetría gauge.
• Mediante el mecanismo de ruptura espontánea de simetría descrito por Nambu en ​

Simetrías ocultas

${\mathcal {L}}\equiv T-V={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi \right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \phi ^{4}\right),\qquad \mu ^{2}<0.$

El término de masas tiene el signo incorrecto. Debemos encontrar el verdadero mínimo de potencial. ${\frac {\partial V}{\partial \phi }}=\phi \left(\mu ^{2}+\lambda \phi ^{2}\right)=0\qquad \rightarrow \qquad \phi =\pm \nu =\pm {\sqrt {-{\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}}}.$

$\phi =0$ ya no es el mínimo de potencial. Debemos hacer el cálculo perturbatvo alrdedor del verdadero mínimo, $\phi =\pm \nu$.

• $\phi (x)=\nu +\eta (x),$ donde $\eta (x)$ son las perturbaciones.
• ${\mathcal {L'}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\eta \right)^{2}-\lambda \nu ^{2}\eta ^{2}-\lambda \nu \eta ^{3}-{\frac {1}{4}}\lambda \eta ^{4}+\Lambda .$
• Ahora sí están bien definido el término de masas: $m_{\eta }={\sqrt {2\lambda \nu ^{2}}}={\sqrt {-2\mu ^{2}}}.$

${\mathcal {L}}$ y ${\mathcal {L'}}$ son equivalentes. Pero si usamos ${\mathcal {L}}$ la serie no converge.

Mecanismo de Nambu-Goldstone

Ruptura de simetría gauge global

Si la ${\mathcal {L}}$ es invariante bajo una cierta simetria pero el $\left.|0\right\rangle$ no $\rightarrow$ Simetría en modo Goldstone.

Se puede demostrar que si $T_{ij}^{\alpha }\left\langle \phi _{j}\right\rangle \neq 0\rightarrow \exists$ partículas sin masa (bosones de Nambu-Goldstone)​.

Modelo $\sigma$

Caraterísticas:

• Describe la interacción de fermiones sin masa con mesones escalares $\sigma$ y pseudoescalares $\pi$.
• La lagrangiana:

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -g{\bar {\psi }}\left(\sigma +i\gamma _{5}{\vec {\tau }}{\vec {\pi }}\right)\psi +{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }{\vec {\pi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)^{2}-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\left({\vec {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}\right)-{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\left({\vec {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}\right)^{2}.$

• ${\mathcal {L}}$ \textbf{no} contiene término de masas para los fermiones.
• Dos simetrías importantes de interacción fuerte: quiral y $\mathrm {SU} (2)$
• Invariante bajo $\mathrm {SU} (2)$ vectorial y axial. Respectivamente:

${\mathcal {U}}=e^{i\epsilon {\frac {\vec {\tau }}{2}}}$

${\mathcal {U}}=e^{-{\vec {\eta }}\cdot {\vec {\tau }}\gamma _{5}}$

Si $\mu ^{2}>0:$

• El potencial del mesón es mínimo en $\phi ^{2}+\sigma ^{2}=0.$
• Se cumple que $\left\langle \sigma _{0}\right\rangle =\left\langle \pi _{0}\right\rangle =0$
• INVARIANCIA QUIRAL MANIFIESTA. No se observa.

La masa de los fermiones no es nula y no se observa la compañera escalar del $\sigma$ con su misma masa.

Consecuencia $\mu ^{2}<0$. Aplicamos el mecanismo de Nambu-Goldstone

El mínimo estará en un anillo de $\pi ^{2}+\sigma ^{2}=f^{2}$, donde $f=-{\frac {\nu ^{2}}{\lambda ^{2}}}$ y el estado fundamental vendrá dado ahora por: $\left\lbrace \left\langle \pi _{o}\right\rangle =0;\qquad \left\langle \sigma _{o}\right\rangle =+{\sqrt {-{\frac {\mu ^{2}}{\lambda ^{2}}}}}=f\right\rbrace$

El estado vacio no es invariante bajo $\mathrm {SU} (2)_{A}$ y la simetría quiral se rompe espontáneamente. Se dan las condiones de aplicar el teorema de Nambu-Goldstone.

Entonces, $\sigma =f+\sigma '$ y sustituimos en ${\mathcal {L}}$

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-gf\right)\psi -ig{\bar {\psi }}\gamma _{5}{\vec {\tau }}\cdot {\vec {\pi }}\psi$ $+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }{\vec {\pi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma '\right)^{2}+\nu ^{2}\sigma '^{2}-g{\bar {\psi }}\sigma '\psi -\lambda ^{2}f\sigma '\left({\vec {\pi }}^{2}+\sigma '^{2}\right)$ $-{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\left({\vec {\pi }}^{2}+\sigma '^{2}\right)^{2}+\Lambda$

Consecuencias

• El fermión ha adquirido masa: $m=gf$
• El mesón $\sigma$ tiene una masa $m_{\sigma }={\sqrt {-2\mu ^{2}}}$
• Los $\pi$'s aparecen con masa cero. Los identificamos como tres bosones de Nambu-Goldstone. Forman un triplete de isospin [tres generadores de quiralidad]

Pseudo-bosones Nambu-Goldstone

En el modelo anterior los $\pi$'s eran de masa nula. Considerábamos que la simetría $\mathrm {SU} (2)\bigotimes \mathrm {SU} (2)$ era exacta. Pero experimentalmente $m_{\pi }\neq 0$ aunque $\sim 0$.

Podemos incluir un término $\beta \sigma$ en la ${\mathcal {L}}$ que haga que rompa la simetría quiral. Ahora el vector axial no se conservará.

El nuevo estado fundamental será

$\left\lbrace \left\langle \pi _{o}\right\rangle =0\qquad \left\langle \sigma \right\rangle =f'\right\rbrace$.

Perturbando alrededor del nuevo mínimo obtenemos la expresión del potencial:

$V(\sigma ,\pi )={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left(f'^{2}-f^{2}\right)\pi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left(3f'^{2}-f^{2}\right)\sigma '^{2}+W(\sigma '^{2},\pi ^{2})$

siendo $\sigma =f'+\sigma '$ ($f'$ es nuevo mín.).

Las masas de las partículas resultan ser:

• $m_{\pi }^{2}=\lambda ^{2}\left(f'^{2}-f^{2}\right)=\beta f'^{-1}$
• $m_{\sigma }^{2}=\lambda ^{2}\left(3f'^{2}-f^{2}\right)$
• $m=gf'$

La masa del pión tiene una dependiencia explícita del parámetro $\beta$ y el vector axial ya no se conservará. Se puede obtener ​ que:

$\partial ^{\mu }{\vec {A}}_{\mu }=-f'm_{\pi }^{2}{\vec {\pi }}$

lo que significa que la violación de la corriente axial es un término proporcional a la masa del pión. Esto es: conservación parcial de la corriente axial.

Mecanismo de Higgs

Ruptura de simetría Gauge local

En el caso de que la ruptura espontánea de simetría se de en un campo de simetría gauge local usaremos el Mecanismo de Higgs:

• Primero lo aplicaremos a la simetría U(1)

$\phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\phi _{1}+i\phi _{2}\right)$

${\mathcal {L}}=\left(D^{\mu }\phi \right)^{\dagger }\left(D_{\mu }\phi \right)-V(\phi ^{\dagger }\phi )-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$

con

$V(\phi ^{\dagger }\phi )$ ${\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi +{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left(\phi ^{\dagger }\phi \right)^{2}\qquad ;\qquad F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }B_{\nu }-\partial _{\nu }B_{\mu }.$

Si consideramos $\mu ^{2}<0$ y seguimos el mismo procedimiento que en el modo Nambu-Goldstone tendremos que $\phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\nu +\varphi _{1}+i\varphi _{2}\right)\cong {\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{i{\frac {\varphi _{2}}{\nu }}}\left(\nu +\varphi _{1}\right)$

Introduciéndola en la lagrangiana y agrupando: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi _{1}\right)\left(\partial _{\mu }\varphi _{1}\right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]+$ ${\frac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }\varphi _{2}\right)\left(\partial _{\mu }\varphi _{2}\right)-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+q\nu B^{\mu }\partial _{\mu }\varphi _{2}+{\frac {1}{2}}q^{2}\nu ^{2}B^{\mu }B_{\mu }+\Lambda$

Haciéndo una transformación U(1) $\rightarrow \phi '={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\nu +\varphi _{1}\right)$ y cambiando el gauge $B'_{\mu }=\left(B_{\mu }+{\frac {1}{q\nu }}\partial _{\mu }\varphi _{2}\right)$ tenemos que

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi _{1}\right)\left(\partial _{\mu }\varphi _{1}\right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}q^{2}\nu ^{2}B^{\mu }B_{\mu }+$ $+{\frac {1}{2}}q^{2}B^{\mu }\left(\varphi _{1}^{2}+2\nu \varphi _{1}\right)-{\mathcal {O}}(\phi ^{2})+\Lambda '.$ El grado de libertad del bosón de Nambu-Goldstone se convierte en la componente longitudinal del campo $B_{\mu }$.

 Hecho Cálculo de masas de los bosones W y Z mediante el mecanismo de Higgs

Hacemos una aplicación directa del mecanismo de Higgs para resolver el problema de encontrar la masa de bosones vectoriales Z⁰ y W^+-. Aplicamos al caso de la ruptura de simetría local no abeliana. Partimos de una lagrangiana que describe dos campos bosónicos escalares complejos:

${\mathcal {L}}=\left(D^{\mu }\phi \right)^{\dagger }\left(D_{\mu }\phi \right)-V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu },$

donde el potencial V es:

$V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi +{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left(\phi ^{\dagger }\phi \right)^{2}$,

la derivada covariante es:

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+\left(ig{\frac {1}{2}}\tau ^{l}W_{\mu }^{l}+ig'{\frac {1}{2}}B_{\mu }\right)$

y el tensor del campo abeliano

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }B_{\nu }-\partial _{\nu }B_{\mu }\qquad ;\qquad G_{\mu \nu }=\partial _{\mu }W_{\nu }-\partial _{\nu }W_{\mu }+ig[W_{\mu },W_{\nu }]$

• Si $\mu ^{2}>0$ la lagragiana describe la teoría de Yang-Mills.
• Si $\mu ^{2}<0$, es el caso que nos interesa. La simetría $\mathrm {SU} (2)$ se rompe espontáneamente.

El mínimo de potencial vendrá dado por

$V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{2}}.$

Tomamos como vacío:

$\phi _{0}=\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu }{\sqrt {2}}}\end{array}}\right)$

Expandimos el campo alrededor de $\phi _{0}$.

$\phi =\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu }{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}+i\varphi _{2}\\\varphi _{3}+i\varphi _{4}\\\end{array}}\right)$

Parametrizamos la perturbación en términos de cuatro campos reales: tres $\epsilon (x)$ y un $\phi (x)$:

$\phi (x)=e^{-i\epsilon ^{l}(x){\frac {\tau ^{l}}{2}}}\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu +\varphi (x)}{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)$

Como es invariante U(1), mediante una transformación

$\phi (x)=\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu +\varphi (x)}{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)$

La libertad de elección de Gauge se usa para convertir $\phi$ en una componente de un isoespinor. La añadimos en la lagrangiana.

${\mathcal {L}}=\left[\partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-\phi ^{\dagger }\left(igW^{\mu }+i{\frac {g'}{2}}B^{\mu }\right)\right]\left[\left(\partial _{\mu }+igW_{\mu }+i{\frac {g'}{2}}B_{\mu }\right)\phi \right]-$

$-V\left(\phi ^{\dagger }\phi \right)-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }.$

Reordenando los términos:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi \right)\left(\partial _{\mu }\varphi \right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+$

$+{\frac {g^{2}}{8}}\nu ^{2}\left(W^{1\mu }W_{\mu }^{1}+W^{2\mu }W_{\mu }^{2}\right)+{\frac {1}{8}}\nu ^{2}\left(gW^{3\mu }-g'B^{\mu }\right)\left(gW_{\mu }^{3}-g'B^{\mu }\right)+{\mathcal {O}}(.^{2})+\Lambda$

Ahora separamos los campos $W^{3}$ y $B$ e introduciendo el ángulo de Weinberg como:

$\theta _{w}\rightarrow \tan {\left(\theta _{w}\right)}={\frac {g'}{g}}$

llegamos a que:

$gW_{\mu }^{3}-g'B_{\mu }={\frac {g}{\cos {\theta _{w}}}}\left(\cos {\theta _{w}}W_{\mu }^{3}-\sin {\theta _{w}}B_{\mu }\right)\equiv {\frac {g}{\cos {\theta _{w}}}}Z_{\mu }$

El otro nuevo campo será $A_{\mu }=\sin {\theta _{w}}W_{\mu }^{3}+\cos {\theta _{w}}B_{\mu }.$ La lagrangiana:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi \right)\left(\partial _{\mu }\varphi \right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]-$

$-{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{2}{\left(\left(\partial ^{\mu }W^{i\nu }-\partial ^{\nu }W^{i\mu }\right)\left(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }W_{\mu }^{i}\right)-{\frac {1}{2}}g^{2}\nu ^{2}W^{i\mu }W_{\mu }^{i}\right)}$

$-{\frac {1}{4}}\left(\left(\partial ^{\mu }Z^{\nu }-\partial ^{\nu }Z^{\mu }\right)\left(\partial _{\mu }Z_{\nu }-\partial _{\nu }Z_{\mu }\right)-{\frac {1}{2}}\left(g^{2}+g'^{2}\right)\nu ^{2}Z^{\mu }Z_{\mu }\right)$

$-{\frac {1}{4}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+{\mathcal {O}}(.^{2})$

Por fin tenemos un campo escalar masivo $\varphi$ de Higgs, con masa ${\sqrt {-\mu ^{2}}}.$ Además hay tres bosones vectoriales masivos: $W^{1}$, $W^{2}$ y $Z$. Las masas son:

• $m_{W^{1}}=g{\frac {\nu }{2}}=m_{W^{2}}$
• $m_{Z}={\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}{\frac {\nu }{2}}={\frac {m_{W}}{\cos {\theta _{w}}}}$

Los generadores ${\frac {\tau _{1}}{2}}$,${\frac {\tau _{2}}{2}}$ y $1-{\frac {\tau _{3}}{2}}$ no dejan el vacio invariante. Pero $1+{\frac {\tau _{3}}{2}}$ sí, y es el responsable de que deje el campo $A_{\mu }$ no tenga masa.

El mecanismo de Higgs da masa a los bosones de Gauge, comiéndose tres de los cuatro campos de Higgs.

Resumen

• Siempre que haya una ruptura espontánea de una simetría global en la lagrangiana aparecerán bosones de Nambu-Goldstone: cuando $k$ simetrías de la lagrangiana no son simetrías del estado fundamental, aparecen $k$ bosones sin masa.
• Si la teoría es además localmente simétrica, existen bosones de gauge sin masa (fotones y gluones). Si el Gauge muestra una ruptura espontánea de simetría los bosones de Gauge sin masa se comen a los bosones de Nambu-Goldstone y adquieren masa.

MVR

Partimos de la forma explícita del hamiltoniano vibracional, que surge como una de las primeras aproximaciones de modelos colectivos de núcleos. Para parametrizar la superficie nuclear se emplean por conveniencia las coordenadas colectivas. Estas coordenadas $\alpha ^{[\lambda ]}=\left\lbrace \alpha _{\lambda \mu }\right\rbrace _{\mu =-\lambda }^{\mu =\lambda }$ se establecen a partir del desarrollo de la superficie del núcleo en armónicos esféricos:

$R(\theta ,\phi ,t)=R_{0}\left[1+\sum _{\lambda ,\mu }{(-1)^{\mu }\alpha _{\lambda -\mu }(t)Y_{\lambda \mu }(\theta ,\phi )}\right].$

De este modo, las coordenadas colectivas describen oscilaciones de la superficie nuclear.

Las coordenadas transforman como un tensor de rango $\lambda$ bajo la representación $(2\lambda +1)-$dimensional de $\mathrm {SO(3)}$, de la forma:

$a_{\lambda \mu }=\sum _{\nu }{D_{\nu \mu }^{\lambda }(\theta _{i})\alpha _{\lambda \nu }}$

donde $D_{\nu \mu }^{\lambda }(\theta _{i})$ forman la representación irreducible del grupo.

Estas nuevas coordenadas $a_{\lambda \mu }$ serán las coordenadas colectivas vistas desde un sistema de referencia rotado respecto del que aparece en (\ref{sci}).

Para describir la superficie nuclear en términos del nuevo sistema de referencia (sistema intrínseco) también deberán transformarse los armónicos esfericos (y así cambiar los ángulos de Euler) de modo que,

$Y_{\lambda \mu }(\theta ',\phi ')=\sum _{\nu }{D_{\nu \mu }^{\lambda }(\theta _{j})Y_{\lambda }(\theta ,\phi )}.$

En el MRV nos centraremos en $\alpha_{2\mu}$; ya que $\lambda=0$ afecta a cambios de volumen y consideramos la materia nuclear incompresible, $\lambda=1$ afecta a traslaciones del centro de masa. Por tanto, describiremos oscilaciones cuadrupolares: núcleos axialmente deformados.

Estas oscilaciones alrededor de una configuración estable serán pequeñas, y podremos suponer que la energía potencial en función de las coordenadas cuadrupolares vendrá dada por la forma:​

$V(\alpha ^{[2]})={\frac {\sqrt {5}}{2}}C_{2}\left[\alpha ^{[2]}\bigotimes \alpha ^{[2]}\right]^{[0]}+C_{3}\left[\left[\alpha ^{[2]}\bigotimes \alpha ^{[2]}\right]^{[0]}\bigotimes \alpha ^{[2]}\right]^{[0]}+C_{4}\left[\alpha ^{[2]}\bigotimes \alpha ^{[2]}\right]^{[0]}\left[\alpha ^{[2]}\bigotimes \alpha ^{[2]}\right]^{[0]}+...$

donde podemos expresarla en función de las coordenadas $a_{\lambda \mu }$ por ser un escalar. Por el mismo motivo acoplamos a cero en cada sumando. Los parámetros $C_{i}$ son parámetros de rigidez.