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En matemáticas , el teorema de Heine-Cantor , llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor , establece que, si
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
es una función continua entre dos espacios métricos y
M
{\displaystyle M}
es compacto , entonces
f
{\displaystyle f}
es uniformemente continua en
M
{\displaystyle M}
.[ 1]
Demostración [ editar ]
La continuidad uniforme de una función se expresa como:
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
∀
x
,
y
∈
M
:
(
d
M
(
x
,
y
)
)
<
δ
⇒
d
N
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ε
)
,
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y))<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}
donde
d
M
{\displaystyle d_{M}}
,
d
N
{\displaystyle d_{N}}
son las funciones distancia en los espacios métricos
M
{\displaystyle M}
y
N
{\displaystyle N}
, respectivamente. Si ahora asumimos que
f
{\displaystyle f}
es continua en el espacio métrico compacto
M
{\displaystyle M}
pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de
f
{\displaystyle f}
queda así:
∃
ε
0
>
0
∀
δ
>
0
∃
x
,
y
∈
M
:
(
d
M
(
x
,
y
)
<
δ
∧
d
N
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≥
ε
0
)
.
{\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).}
Eligiendo
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
, para todo
δ
{\displaystyle \delta }
positivo tenemos un par de puntos
x
{\displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
en
M
{\displaystyle M}
con las propiedades arriba descritas. Si elegimos
δ
=
1
/
n
{\displaystyle \delta =1/n}
para
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,3,...}
obtenemos dos sucesiones
{
x
n
}
,
{
y
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\},\{y_{n}\}}
tales que
d
M
(
x
n
,
y
n
)
<
1
n
∧
d
N
(
f
(
x
n
)
,
f
(
y
n
)
)
≥
ε
0
.
{\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}
Como
M
{\displaystyle M}
es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (
x
n
k
{\displaystyle x_{n_{k}}}
a
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
y
n
k
{\displaystyle y_{n_{k}}}
a
y
0
{\displaystyle y_{0}}
). Se sigue que
d
M
(
x
n
k
,
y
n
k
)
<
1
n
k
∧
d
N
(
f
(
x
n
k
)
,
f
(
y
n
k
)
)
≥
ε
0
.
{\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}
Pero como
f
{\displaystyle f}
es continua y
x
n
k
{\displaystyle x_{n_{k}}}
e
y
n
k
{\displaystyle y_{n_{k}}}
convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que
f
{\displaystyle f}
no es uniformemente continua es absurda : entonces
f
{\displaystyle f}
debe ser uniformemente continua en
M
{\displaystyle M}
como afirma el teorema .
◻
{\displaystyle \quad \square }
Referencias [ editar ]